〖教学目标〗
1．经历从实际问题抽象出数学问题―建立数学模型―综合应用已有的知识解决问题的过程。
2．进一步发展学生的空间观念和符号感。
3．通过借助已有的信息去预测事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力。
4．让学生获得一些研究问题的方法和经验。
5．体验数学知识之间的内在联系。
6．通过经历克服困难和获得成功的过程，增进学生应用数学的自信心。
〖教材分析〗
“课题学习”对学生而言是一种全新的学习方式。对本课题的研究，需要学生综合应用已经学习过的图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值以及利用代数式的值去探索代数式所反映的规律等方面的知识和方法。通过研究这一现实的、有趣的、富有挑战性的课题，让学生了解数形结合的思想，发展学生的符号感；体会数学与现实生活的紧密联系，发展学生的空间观念；学生经历了从实际问题中建立数学模型、分析、猜测、交流、推理和反思等过程，有利于学生更好地了解数学、应用数学，增强学生学好数学的自信心。通过学习与实践，发展学生应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深学生对相关数学知识的理解。
这部分内容的教学重点是数据的收集与处理；难点是细化代数式的值。
〖教学准备〗
1．准备：一张边长为20 cm的正方形纸板，一个无盖的长方体，以及剪刀、直尺、透明胶、细沙。
2．操作：展开一个无盖长方体(学生实际操作，为用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体的折叠打好基础)。
3．设疑：一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖的长方体?(留出足够的时间让学生充分思考，以便在课堂上可以用更多的时间尝试“无限逼近”。)
〖教学设计〗
(一)议一议
1．若要用一张正方形的纸板制成一个无盖的长方体，你觉得应怎样剪?怎样折?与同伴进行交流。
(学生结合自己的课前准备，分组合作，使学生学习过程成为发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。各组派代表在黑板上演示说明：只要在正方形纸板的四个角各剪去一个全等的小正方形便可折叠制成，如图1所示。教师针对学生的出色表现，给予表扬，让学生高兴地、信心百倍地投入到下面的学习环节中。)
2．剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系?(学生观察，口答：相等。)
3．设这张正方形纸板的边长为a，所折无盖长方体的高为h，你能用a和h来表示这个无盖长方体的容积V吗?(学生通过操作、交流、列代数式，得出：V=(a-2h)2h。)
图1
(二)想一想
1．各小组折成的无盖长方体的容积是否相等?(各小组间用装细沙的方法验证：用透明胶将长方体粘好，将本组的长方体装满细沙，然后再倒入相邻组制作的长方体中，通过沙的多少来判断无盖长方体的容积的大小。)
2．随着剪去的小正方形边长的增大，所折长方体的容积如何变化?如何能更直观地表达这个变化趋势?(让学生比较剪下小正方形的边长与长方体的容积的大小，进行猜想。)
(三)做一做(验证猜想)
1．若剪去的小正方形的边长按整数值变化，即分别取1 cm，2 cm，…，10 cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化?请你制作适当的统计图表，展示这个变化状况。(借助计算器求代数式的值，制作统计表，可以形象地表达这个变化，而制作折线统计图可以更直观地表达这个变化。)
2．通过自己所做的统计图表，你发现了什么?(小组合作，教师参与，小组派代表发言：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。教师给予肯定，再次表扬，让学生感受成功的体验。)
3．观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大?(学生通过制作的统计图表得出：在这10组数中，当边长取3 cm时，容积最大为588 cm3。)表一
边长h/cm |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
容积V/cm3 |
324 |
512 |
588 |
576 |
500 |
384 |
252 |
128 |
36 |
0 |
(四)议一议
用边长为20 cm的正方形纸板，你能制作出容积尽可能大的无盖长方体吗?教师设疑：是否存在容积大于588 cm3的可能?学生先独立思考，然后小组合作交流，结合制作出的统计图表，观察无盖长方体的容积随剪去的小正方形边长的增大而变化的趋势：容积先增大后减小。有的小组发现，可能当剪去的小正方形边长在3 cm～4 cm之间取值时，无盖长方体的容积V大于588 cm3。探究出这个问题以后，接着教师设疑：若剪去的小正方形边长为小数，那么整数部分是几?如何来确定?学生分小组合作，教师参与。这实际是通过加细代数式的值来考察无盖长方体容积的变化情况。)
(五)做一做(本节课的高潮)
1．若所剪的小正方形边长按0．1 cm的间隔取值，即分别取3．1 cm，3．2 cm，…，3．9 cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化?请你制作统计图表，表示这个变化状况(借助计算器，小组合作，教师参与。在这一环节中，教材是分别以1cm，0．5 cm，0．25 cm，…的间隔取值，而本节课创造性地运用了教材，分别以1 cm,0．1 cm，0．01 cm，…的间隔取值，可以快速地将问题探究出来。)
2．观察你制作的统计图表，你发现了什么?(要求学生根据统计图表中数据的变化，探索长方体容积的变化趋势和规律，再次得出：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。这一次较上一次学生用的时间短，教师给予鼓励。)
3．观察统计图表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大?(学生回答：当边长取3.3cm时，容积最大为591.5cm3。)表二
边长h/cm |
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
容积V/cm3 |
590.4 |
591.9 |
592.5 |
592.4 |
591.5 |
589.8 |
587.4 |
584.3 |
580.5 |
(六)试一试
若所剪的小正方形边长按0.01cm的间隔取值，则十分位应取几?制作统计图表，你又发现了什么?若所剪的小正方形边长按0.001cm的间隔取值呢?(学生按刚才的思路，分小组合作，进一步细化代数式的值考察无盖长方体容积的变化情况。其中有的小组发现：每一次按不同的间隔取值，没有必要9个数据都算出来，只要最大值出现即可。这样可以减少运算量，将节省下来的时间多取几个间隔进行估测。)
表三
边长h/cm |
3.31 |
3.32 |
3.33 |
3.34 |
3.35 |
容积V/cm3 |
592.57 |
592.58 |
592.5921 |
592.5908 |
592.5815 |
表四
边长h/cm |
3,331 |
3.332 |
3.333 |
3.334 |
容积V/cm3 |
592.5924 |
592.59252 |
592.59259 |
592.59257 |
(七)预测与评估(本节课的升华)
要使所折成的无盖长方体的容积尽可能大，如何确定剪去的小正方形的边长?(结合自己做的细化统计图表，探索规律。学生相互补充：用边长为20 cm的正方形纸板，四个角各剪去四个全等的小正方形，当小正方形的边长取3.333…cm，即越来越接近103 cm时，所折成的无盖长方体的容积将越来越大。)
(八)反思
由学生谈体会、说感想、讲收获。(学生相互补充：在解决实际问题时，可以先把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再综合应用所学的知识解决问题。在本节课中，寻找到用一个正方形制成一个尽可能大的无盖长方体的方法，运用了无限逼近的数学思想。)
(九)布置作业
1．用边长为30 cm的正方形纸板，如何才能制作出容积尽可能大的无盖长方体?(作为对课堂学习的延续。)
2．将本节课的收获与感悟整理下来，存放在成长记录袋中。
〖教学反思〗
1．成功之处：
(1)课堂设计生动有趣，步步深入，有效地调动了学生学习的积极性。
(2)体现了学为主体、教为主导的双主原则，学生是学习的主体，课堂是属于学生的，教师是组织者、合作者、帮助者，建立了平等和谐的师生关系。
(3)采用从实际问题中抽象出数学问题―建立数学模型―综合应用已学过的知识解决问题的模式，过渡自然，体会深刻。
(4)有效地调动了学生学习的兴趣，让学生独立思考与合作交流相结合，培养了学生的创新思维与实践能力。
(5)体现了数学教学中的理论联系实际的原则。
2．存在问题：在用加细代数式的值考察无盖长方体容积的变化趋势时，学生讨论时间过多。
〖案例点评〗
本节课教师提供的问题情境及启发设疑恰到好处，体现了教师是组织者、引导者，学生是学习的主人。学生通过观察、分析、操作，始终处于积极主动的状态，课堂气氛十分活跃。结合现实生活中蕴含着大量的数学知识，学生不但理解了所学的知识，而且培养了学生的创新精神和实践能力，丰富了学生的情感体验和社会经验。
有一点可以探讨，即本节课仅安排了1课时，时间是否充分?毕竟，得出最后结论并不是课题学习的最重要目标。