已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．

题目内容：

已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．

试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？

（1）三条边长均是正整数；

（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．

最佳答案：

假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．

由勾股定理得p2+x2=y2．

化为（y+x）（y-x）=p2．

因为p为素数（也称质数），且y+x＞y-x。

所以只有y+x=p2y-x=1.

从而x=p2-12，y=p2+12．

若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；

若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．

综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为p2-12．

考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。