补充资料:自守函数
自守函数
autmnorphic function
【补注】上述关于域K(r)是有理函数域C(f;,…,人)的一个有限代数扩张(关于代数关系的定理)的结果在对称域D和算术群r的情形是由W.L.Baily jr.与A .Borel([A6」)及1 .1.Pyatets斌一ShaPiro([A71)分别独立得到的. 命X是某一类空间(例如复的或实解析的,光滑流形),r为X的自同构群,又H是作用在一空间V上的群.命Mor(X,H)为从X到H内的射的集合.r的自守因子(automorphy factor)是r的1上闭链(l一。卿de)(交叉同态(cressed homomorPhism))j,它取值于Mor(X,H).这表示它是一映射j:Xxr~H使得j(x,汀)=j(x,丫)j(x丫,丫)一个例子是j作为微分同胚X~X(链式法则)的Jacobi矩阵·j掣的自守形式(automorphie form of typej)现在是一射f:X~V使得f你)=j(x,下)f(x对.取Jacobi矩阵作为一自守因子及取作用在C上的H=GL(C),通过行列式的川次幂,我们得到权爪的自守形式(automorPhieform of weightm)的较经典概念,见自守形式(a uto-morphic form).藉助于(x,Fh=(X,,,j(X,,)V)自守因子j可用来定义r在XxV上的作用.现在如果r作为一真不连续变换群自由作用在XxV上,那么(X火巧/r是具有纤维V的X/r上的一纤维丛,而自守形式是这纤维丛的截面,或者,等价地,是平凡丛X火V~X的r等价的截面. 用比较多的群的理论命G为一具有Lie代数g的实半单Lie群,藉助扩张这样一个映射,此映身们借定a任g对应于右不变向量场,我们将g的万有包络代数U。等同于G上的右不变微分算子D(G).命K为G的极大紧子群,r为一离散子群,又命P:K~GL(v)为K的一个表示.一光滑的向量值函数f:G~V称为对r的一个自守形式(a utolnorPhic form),如果f认g钓=p(k)f匆),( z.)f是一有限向量空间,其中z(g)二U。=D(G)是f。的中心,而f满足一增长条件·和上面讨论的‘,j型自守形式”概念之间的联系由X二K\G,K在G中的左旁系空间和一规范自守因子(具有H一K户所提供,此处规范自守因子叮在上述理论中定义.所有这些较详细的情形见IA月. 除了h述应用自守函数于常微分方程和代数方程外,还有一个在关于SL:(R)的离散子群的自守函数的调和分析和应用于非Euclid波动方程〔non一Euclideanwave equa‘ion)的Lax一phili声孽射浮诊(Lax一philiPSs以ttering theory、之间的最为明显的联系,见IA41,[AS」. 与自守形式和自守函数紧密相关的更多材料,也见 上条目模形式(M(劝ular form);模函数(m喊ul盯fun。
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