2022辽宁公务员考试：一元二次函数极值问题巧解

2021-05-07 11:38:13| 来源：辽宁中公教育张永鑫点击量: 31

一元二次函数求极值问题一直以来都是公务员行测考试数量关系部分的常考题型之一,这种题目往往看起来较为复杂，但其实是“披着狼皮的羊”，中公教育认为，只要我们掌握了一定的解题技巧，便可以将这类题目轻松击破。

解决这类问题的方法有很多，今天中公教育就给大家介绍其中的一种：利用均值不等式求解。所谓均值不等式，我们并不需要去背诵复杂的公式，我们只需要记住它的一个小结论：“和定，差小，积大”，这是什么意思呢?我们可以把它简单理解为，如果两个正实数的加和一定，那么这两个正实数的差值越小，他们的乘积也就越大，也就是说，当这两个数恰好相等的时候，乘积最大。

下面我们就通过例题，感受一下这种方法在实际题目之中是如何应用的。

例1. 某种商品，当单价是15元时可卖出500个，单价每上涨1元，卖出的个数就会减少20个，要使该商品销售额最大，则单价应是( )。

A.30元 B.28元 C.27元 D.20元

【中公解析】答案：D。根据题意，商品的销售额等于单价乘以卖出的个数，当单价上升x元时，商品的单价是15+x元，卖出的个数为500-20x个，则销售额是(15+x)×(500-20x)，提取出公因数变成20(15+x)×(25-x)，因为15+x与25-x的和为定值，根据“和定，差小，积大”，判断出当15+x=25-x，也就是x=5时销售额取得最大值。此时的单价为15+5=20元，选择D。

例2. 某厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本是168元，销售定价为238元，一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所能获得的最大利润是( )元。

A.17920 B.13920 C.10000 D.8400

【中公解析】答案：C。根据题意，总利润等于每件利润乘以件数，原价销售时每件利润为238-168=70元，设厂家降价x次，则可获利润(70-2x)(120+8x)，依然先将未知数的系数提取出来，得到2×8(35-x)(15+x)，又可以根据“和定，差小，积大”，得到35-x=15+x，即x=10时，利润可取得最大值(70-2×10)×(120+8×10)=10000元，选择C。

例3.某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?

A.155元 B.165元 C.175元 D.185元

【中公解析】答案：C。根据题意，租金公司日收益等于每辆车的收益乘以租出的辆数，而每辆车的收益等于租金减去维护费。根据题意，不妨设每辆车的日租金增加了x次，每次增加5元，则每日收益等于(100+5x-20)(200-4x)=20(16+x)(50-x)，因16+x与50-x的和一定，所以当16+x=50-x，即x=17时，每日收益取得最大值，此时每辆车的日租金为100+17×5=185元，选择C。

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