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直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况。以下是直线与圆锥曲线专项测试，希望考生可以认真练习。
1.双曲线的方程为=1(a0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=()
A.2 B.1 C. 3D.5
2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()
A.(0,1) B. .(-1,1) C..(0,5) D..(-2,1)
3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=()
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
5.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,则该双曲线的离心率为()
A. 1B.1/2 C. 1/3D.1/5
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则△AKF的面积是()
A.4 B.3 C.4 D.8
7.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
8.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
9.(2014福建漳州模拟)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程.
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
10.(2014安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;
(2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.
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11.已知点F是双曲线=1(a0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是()
A. B.2 C.1+ D.2+
12.(2014湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
13.(2014福建三明模拟)设圆C的圆心与双曲线=1(a0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为 .
14.(2014江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
(1)证明:动点D在定直线上;
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.
15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.参考答案
1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.
又2c=4,c=2,e==2.
2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,
则c1或k-1.
9.解:(1)由已知得抛物线C的焦点坐标为F(1,0),
设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),
则
所以(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以2y0k=4,又y0=2,所以k=1.
故直线l的方程是y=x-1.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,
所以有y1+y2=4m,y1y2=-4,=16(m2+1)0,
|AB|=|y1-y2|
=
==4(m2+1),
所以有4(m2+1)=20,解得m=2,
所以直线l的方程是:x=2y+1,即x2y-1=0.
10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16,
所以由椭圆定义可得4a=16,
|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k0,
且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k),
化简可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.
11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.
由△ABE是直角三角形,得=a+c,
即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得c2-ac-2a2=0.
e2-e-2=0,
解得e=2(e=-1舍去).
12.A 解析:可解方程t2cos +tsin =0,
得两根0,-.
不妨设a=0,b=-,
则A(0,0),B,
可求得直线方程y=-x,
因为双曲线渐近线方程为y=x,
故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.
13. 解析:由题知圆心C(,0),双曲线的渐近线方程为xay=0,圆心C到渐近线的距离d=,即圆C的半径长为.
由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为,可知圆心C到直线l的距离为1,即=1,解得a=.
14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1x2=-8,
直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2=-8及=4y1,
则有y==-2.
因此D点在定直线y=-2上(x0).
(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),
代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0,
由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.
故切线l的方程可写为y=ax-a2.
分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.
则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,
即|MN2|2-|MN1|2为定值8.
15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1.
(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.
从而|PQ|=|x1-x2|
=.
又点O到直线PQ的距离d=,
所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.
设=t,则t0,
S△OPQ=.
因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
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