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通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，，z)G(x，y，，z )。以下是不等式推理与证明专项测试，希望考生可以认真练习。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014山东青岛一模)若a,b是任意实数,且ab,则下列不等式成立的是()
A.a2b2 B.1
C.lg (a-b)0 D.
2.用反证法证明命题:若a,bN,ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除时,假设的内容应该是()
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
3.因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论),上面推理的错误在于()
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
4.|x|是x2-x-6的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列命题错误的是()
A.若a0,则
B.若,则a0
C.若a0,且,则ab
D.若,且ab,则a0
6.设x,y,z0,则三个数()
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
7.若P=,Q=(a0),则P,Q的大小关系()
A.PQ B.P=Q
C.P0,b0)的最大值为12,则的最小值为()
A. B. C. D.4
12.(2014河南郑州模拟)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为()
A. B.4 C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)
13.在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .
14.观察下列不等式
1+,
1+,
1+,
照此规律,第五个不等式为 .
15.(2014福建龙岩模拟)设a,bR,给出下列条件:
①a+b②a+b=2;③a+b④a2+b2⑤ab1,其中能推出:a,b中至少有一个实数大于1的条件是 .
16.设x,y满足约束条件则z=x+4y的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知非零向量ab,求证:.
18.(12分)(2014山东省实验中学高三诊断)记f(x)=ax2-bx+c,若不等式f(x)0的解集为(1,3),试解关于t的不等式f(|t|+8)k的解集为{x|x-3,或x-2},求k的值;
(2)若对任意x0,f(x)t恒成立,求实数t的范围.
20.(12分)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形,它们完全重合,把其中一个长方形绕中点旋转90后而得的组合图叫正十字型),为保证所需的磁通量,要求十字应具有4 cm2的面积,问应如何设计十字型宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
21.(12分)在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)anna2n对任意nN*都成立.
(1)求a2的取值范围;
(2)判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.
22.(14分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a0,区间I={x|f(x)0}.
(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为-
(2)给定常数k(0,1),当1-k1+k时,求I长度的最小值.1.D 解析:01,y=是减函数.
又ab,.
2.B 解析:至少有一个的反面应是一个都没有.故应选B.
3.A 解析:当a1时,y=ax为增函数;当00或a0,b=0或a0.故D错误.
6.C 解析:假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又2+2+2=6(当且仅当x=y=z时等号成立),与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取x=y=z=1,可排除A,B.
7.C 解析:假设P0,b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.
则
+2=
.
12.D 解析:因为1=a+2b2,所以ab,当且仅当a=2b=时,等号成立.
又a2+4b2+2=4ab+.
令t=ab,则f(t)=4t+单调递减,
所以f(t)min=f.
此时a=2b=.
13. 解析:平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以.
14.1+ 解析:先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1+.
15.③ 解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③,若a,b都不大于1,则a+b2,与③矛盾.故若③成立,则a,b中至少有一个实数大于1.
16.5 解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.
由z=x+4y,得y=-x+.
先画出直线y=-x,再平移直线y=-x,当经过点B(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5.
17.证明:ab,ab=0.
要证,
只需证|a|+|b||a-b|,
两边平方,得|a|2+|b|2+2|a||b|2(|a|2+|b|2-2ab),
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|0,
即(|a|-|b|)20,显然成立.故原不等式得证.
18.解:由题意知f(x)=a(x-1)(x-3),且a0,
则二次函数在区间[2,+)上是减函数.
又因为8+|t|8,2+t22,
所以由二次函数的单调性知不等式f(|t|+8)2+t2,
即|t|2-|t|-60,
解得|t|3,即不等式的解为-3kkx2-2x+6k0,
由已知其解集为{x|x-3,或x-2},
得x1=-3,x2=-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
则-2-3=,解得k=-.
(2)x0,f(x)=(当且仅当x=时,等号成立),
又已知f(x)t对任意x0恒成立,
实数t的取值范围是.
20.解:设y=x+2h,由条件知x2+4xh=4,即h=.
设外接圆的半径为R,即求R的最小值,
4R2=x2+(2h+x)2
=2(x2+2hx+2h2),
2R2=f(x)=x2+x2+(0a1,即a22.
又(n+1)anna2n,令n=1,
则有2a1a2,即a24,
所以a2(2,4].
(2)数列{an}不是等比数列.
用反证法证明:
假设数列{an}是公比为q的等比数列,由a1=20,得an=2qn-1.
因为数列{an}单调递增,所以q1.
因为(n+1)anna2n对任意nN*都成立,
所以对任意nN*,都有1+qn.①
因为q1,所以存在n0N*,使得当nn0时,qn2.
因为1+2(nN*).
所以存在n0N*,使得当nn0时,qn1+,与①矛盾,故假设不成立.
22.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根x1=0,x2=.
所以f(x)0的解集为{x|x1
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