精选回答
题目内容：
对于素数p，q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p=______q=______
最佳答案：
将方程x4-px3+q=0移项，得 x4+q=px3．
可见，x4≥0，则x4+q＞0。
所以px3＞0。
即x＞0。
本题也就是要求出使方程x4-px3+q=0有正整数解的素数p、q；
且素数p必定是奇素数，否则是偶素数的话。
那么p=2。
则方程成为：x4+q=2x3。
即q=2x3-x4=x3×（2-x）＞0。
得出2-x＞0。
即x＜2。
则只能是x=1。
代入方程：
1、4+q=2×13。
即1+q=2，解得q=1，不是素数，故p必定是奇素数．
分两种情形讨论：
情形一：当x为偶数时，设为x=2n。
则有（2n）4+q=p×（2n）3。
16n4+q=p×8n3。
上式右端是偶数，则左端的q必须为偶数。
否则：左端奇偶相加得奇，不符．
而q作为素数，唯一的偶素数就是2，即q=2。
则上式成为 16n4+2=p×8n3。
两边同时除以2，得：8n4+1=p×4n3。
显然，左端奇偶相加得奇，但右端为偶，矛盾．
所以方程无偶整数解；
情形二：当x为奇数时，设为x=2n-1，则有（2n-1）4+q=p×（2n-1）3。
观察上式，右端为奇，则左端也必须为奇，而（2n-1）4是奇，所以得出q必须为偶，故素数q=2。
上式成为：（2n-1）4+2=p×（2n-1）3。
整理成：p（2n-1）3-（2n-1）^4=（2n-1）3×[p-（2n-1）]=1×2。
由于（2n-1）3为奇。
所以必有：（2n-1）3=1。
解得：n=1；
则：[p-（2n-1）]=2。
解得：p=3；
综上，对于素数p、q，方程x4-px3+q=0有整数解，则p、q分别为3和2．
故答案为：p=3，q=2．
考点核心：
有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
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