欧姆定律

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电阻性质

电阻的性质

由欧姆定律I=U/R的推导式R=U/I或U=IR不能说导体的电阻与其两端的电压成正比，与通过其的电流成反比，因为导体的电阻是它本身的一种属性，取决于导体的长度、横截面积、材料和温度、湿度，即使它两端没有电压，没有电流通过，它的阻值也是一个定值。（这个定值在一般情况下，可以看做是不变的，因为对于光敏电阻和热敏电阻来说，电阻值是不定的。对于有些导体来讲，在很低的温度时还存在超导的现象，这些都会影响电阻的阻值，也不得不考虑。）

电阻的单位

电阻的单位欧姆简称欧（Ω）。1Ω定义为：当导体两端电势差为1伏特（ν），通过的电流是1安培（Α）时，它的电阻为1欧（Ω）。

计算公式

R=U/I

欧姆定律

公式

部分电路欧姆定律公式： I=U/R

公式说明

定义：在电压一定时，导体中通过的　其中G= I/R，电阻R的倒数G叫做电导，其国际单位制为西门子(S)。

其中：I、U、R——三个量是属于同一部分电路中同一时刻的电流强度、电压和电阻。

I=Q/t　电流=电荷量/时间(单位均为国际单位制）

也就是说：电流=电压/ 电阻

或者电压=电阻×电流『只能用于计算电压、电阻，并不代表电阻和电压或电流有变化关系』

注意：在欧姆定律的公式中，电阻的单位必须用欧姆、电压的单位必须用伏特。如果题目给出的物理量不是规定的单位，必须先换算，再代入计算。这样得出来的电流单位才是安培。

[2]只适用于纯电阻电路，金属导电和电解液导电，在气体导电和半导体元件等中欧姆定律将不适用

全电路欧姆定律

公式

I=E/(R+r)=(Ir+U)/(R+r)

I-电流安培（A）

E-电动势伏特（V）

R-电阻欧姆（Ω）

r-内电阻欧姆（Ω）

U-电压伏特（V）

公式说明

其中E为电动势,R为外电路电阻，r为电源内阻，内电压U内=Ir,E=U内+U外

适用范围：只适用于纯电阻电路（像家庭电路均不是纯电阻电路）

周期性激发

电容器、电感器、传输线等等，都是电路的电抗元件。假设施加周期性电压或周期性电流于含有电抗元件的电路，则电压与电流之间的关系式变成微分方程。因为欧姆定律的方程只涉及实值的电阻，不涉及可能含有电容或电感的复值阻抗，所以，前面阐述的欧姆定律不能直接应用于这状况。

最基本的周期性激发，像正弦激发或余弦激发，都可以用指数函数来表达：

其中，j是虚数单位，ω是实值角频率，t是时间。

假设周期性激发为单频率正弦激发，其角频率为ω 。电阻为R的电阻器，其阻抗Z为

Z= R。电感为L的电感器，其阻抗为

Z= jωL。电容为C的电容器，其阻抗为

Z= 1 / jωC。电压V与电流I的关系式为

V= IZ。注意到将阻抗Z替代电阻R，就可以得到这欧姆定律方程的推广。只有Z的实值部分会造成热能的耗散。

对于这系统，电流和电压的复值波形式分别为

I= I0e^jωt 、V= V0e^jωt。电流和电压的实值部分real(I) 、real(V) 分别描述这电路的真实正弦电流和正弦电压。由于I0 、V0 都是不同的复值标量，电流和电压的相位可能会不一样。

周期性激发可以傅里叶分解为不同角频率的正弦函数激发。对于每一个角频率的正弦函数激发，可以使用上述方法来计算响应。然后，将所有响应总和起来，就可以得到解答。

线性近似

但是，在有些电路元件不遵守欧姆定律，它们的电压与电流之间的关系（V-I线）乃非线性关系。PN接面二极管是一个显明范例。如右图所示，随着二极管两端电压的递增，电流并没有线性递增。给定外电压，可以用V-I线来估计电流，而不能用欧姆定律来计算电流，因为电阻会因为电压的不同而改变。另外，只有当外电压为正值时，电流才会显著地递增；当施加的电压为负值时，电流等于零。对于这类元件，V-I线的斜率欧姆定律是电路分析（circuit analysis）使用的几个基本方程之一。它可以应用于金属导电体或特别为这行为所制备的电阻器。在电机工程学里，这些东西无所不在。遵守欧姆定律的物质或元件称为“欧姆物质”或“欧姆元件”。理论上，不论施加的电压或电流、不论是直流或交流、不论是正极或负极，它们的电阻都不变。

称为“小信号电阻”（small-signal resistance）、“增量电阻”（incremental resistance）或“动态电阻”（dynamic resistance），定义为

单位也是欧姆，是很重要的电阻量，适用于计算非欧姆元件的电性研究欧姆定律需要注意的问题

1.分析闭合电路中的功率问题时就注意以下三个问题:

(1)电流发生变化时,路端电压发生变化,功率比较与计算时不要忘记这一点.

(2)利用当外电阻等于内阻时输出功率最大这一结论,必要时要将某一电阻看作内阻,作等效电源处理.

(3)注意所求功率是电路中哪部分电路的功率,不同部分电路分析思路不同.

2.在直流电路中,当电容器充放电时,电路里有充放电电流,一旦电路达到稳定状态,电容器在电路中就相当于一个阻值无限大的元件,在电容器处电路看作是断路,简化电路时可去掉它.分析和计算含有电容器的直流电路时,需注意以下几点:

(1)电容器两极板间的电压等于该支路两端的电压.

(2)当电容器和用电器并联后接入电路时,电容器两极板间的电压与其并联用电器两端的电压相等.

(3)电路的电流、电压变化时,将会引起电容器的充(放)电.

(4)如果变化前后极板带的电性相同,那么通过每根引线的电荷量等于始末状态电容器电荷量的差;如果变化前后极板带电的电性改变,那么通过每根引线的电荷量等于始末状态电容器的电荷量之和.[1] 相等

温度效应

詹姆斯·麦克斯韦诠释欧姆定律为，处于某状态的导电体，其电动势与产生的电流成正比。因此，电动势与电流的比例，即电阻，不会随着电流而改变。在这里，电动势就是导电体两端的电压。参考这句引述的上下文，修饰语“处于某状态”，诠释为处于常温状态，这是因为物质的电阻率通常相依于温度。根据焦耳定律，导电体的焦耳加热（Joule heating）与电流有关，当传导电流于导电体时，导电体的温度会改变。电阻对于温度的相依性，使得在典型实验里，电阻相依于电流，从而很不容易直接核对这形式的欧姆定律。于1876年，麦克斯韦与同事，共同设计出几种测试欧姆定律的实验方法，能够特别凸显出导电体对于加热效应的响应。

其它版本

在电机工程学和电子工程学里，欧姆定律妙用无穷，因为它能够在宏观层次表达电压与电流之间的关系，即电路元件两端的电压与通过的电流之间的关系。在物理学里，对于物质的微观层次电性质研究，会使用到的欧姆定律，以矢量方程表达为

处于均匀外电场的均匀截面导电体（例如，电线）。

在导体内任意两点g、h，定义电压为将单位电荷从点g移动到点h，电场力所需做的机械功：

其中，Vgh是电压，w是机械功，q是电荷量，dL 是微小线元素。

假设，沿着积分路径，电流密度J=jI为均匀电流密度，并且平行于微小线元素：

dL=dlI；其中，I是积分路径的单位矢量。

那么，可以得到电压：

Vgh= Jρl；其中，l是积分路径的径长。

假设导体具有均匀的电阻率，则通过导体的电流密度也是均匀的：

J= I/ a；(黑体字部分为矢量（台湾称做向量）其中，a是导体的截面面积。

电压Vgh简写为V。电压与电流成正比：

V= Vgh= Iρl/ a。总结，电阻与电阻率的关系为

R= ρl/ a。假设J> 0 ，则V> 0 ；将单位电荷从点g移动到点h，电场力需要作的机械功w> 0 。所以，点g的电势比点h的电势高，从点g到点h的电势差为 V。从点g到点h，电压降是V；从点h到点g，电压升是V。

给予一个具有完美晶格的晶体，移动于这晶体的电子，其运动等价于移动于自由空间的具有有效质量（effective mass）的电子的运动。所以，假设热运动足够微小，周期性结构没有偏差，则这晶体的电阻等于零。但是，真实晶体并不完美，时常会出现晶体缺陷（crystallographic defect），有些晶格点的原子可能不存在，可能会被杂质侵占。这样，晶格的周期性会被扰动，因而电子会发生散射。另外，假设温度大于绝对温度，则处于晶格点的原子会发生热震动，会有热震动的粒子，即声子，移动于晶体。温度越高，声子越多。声子会与电子发生碰撞，这过程称为晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述两种散射，自由电子的流动会被阻碍，晶体因此具有有限电阻。

凝聚态物理学研究物质的性质，特别是其电子结构。在凝聚态物理学里，欧姆定律更复杂、更广义的方程非常重要，属于本构方程（constitutive equation）与运输系数理论（theory of transport coefficients）的范围。

相关信息

水力学类比

欧姆定律可以用水力学类比（hydraulic analogy）来描述。测量单位为帕斯卡的水压，可以类比为电压。在一根水管里，由于任意两点之间的水压差会造成水流，水的流速（单位是升每秒），可以类比为电流（单位是库仑每秒）。“流量限制器”是安装于水管与水管之间控制流量的阀门，可以类比为电阻器。通过流量限制器的水流流量，跟流量限制器两端的水压成正比，类似地，通过电阻器的电荷流量（电流），跟电阻器两端的电压成正比。这正是欧姆定律的论述。

流体流动网络的流量和流压可以用水力学类比方法来计算。这方法可以应用于稳定流和暂态流（transient flow）。对于线性层流，泊肃叶定律（Poiseuille's law）描述水管的水阻，但是对于湍流，流压-流量关系变为非线性。

闭合电路中的功率

E=U+Ir

EI=UI+I²r

P释放=EI

P输出=UI

P内=I²r

P输出=I²R

=E²R/(R+r)²

=E²/(R+2r+r²/R)

当 r=R时P输出最大，P输出=E²/4r (均值不等式)

(不能错误认为电源的输出功率最大时效率也最高)

电源的效率

n(效率)=P输出/P释放=IU/IE=U/E=R/(R+r)

由上式可知，外电阻R越大，电源的效率越高

∴当R=r时，电源的效率为50%

路端电压与外电阻的关系

①当外电阻R增大时，根据I=E/(R+r)可知，电流I减小(E和r为定值)，内电压Ir减少，根据U=E-Ir可知路端电压U增大。

特例：当外电路断开时，R=∞，I=0，Ir=0，U=E。即电源电动势在数值上等于外电路开路时的电压。

②当外电阻R减少时，根据I=E/(R+r)可知，电流I增大(E和r为定值)，内电压Ir增大，根据U=E-Ir可知路端电压U减小。

特例：当外电阻R=0(短路)时，I=E/r，内电压Ir=E，路端电压U=0。(实际使用时要注意防止

短路事故发生)

欧姆定律的微分形式

在通电导线中取一圆柱形小体积元，其长度ΔL，截面积为ΔS，柱体轴线沿着电流密度J的方向，则流过ΔS的电流ΔI为：

ΔI=JΔS

由欧姆定律：ΔI=JΔS=-ΔU/R 由电阻R=ρΔL/ΔS，得：JΔS=-ΔUΔS/(ρΔL）

又由电场强度和电势的关系，-ΔU/ΔL=E，则：

J=1/ρ*E=σE

（E为电场强度，σ为电导率）

电阻的串联

(1)串联电路的总电阻的值比任何一个分电阻的阻值都大。

（2）串联电阻的总电阻的阻值等于各部分电阻的阻值之和，即R串=R1+R2+.....Rn。

电阻的并联

（1）并联电阻的总电阻的阻值比任何一个分电阻的阻值都小。

(2)并联电阻的总电阻的阻值的倒数等于各部分电阻的阻值倒数之和，即1/R并=1/R1+1/R2+......+1/Rn。

欧姆定律公式

主要公式:I=U/R,U=IR,R=U/I

由欧姆定律所推公式：

并联电路 I 总=I 1 +I 2 +...+I n U总=U1=U2=...=U n 串联电路 I 总= I 1= I 2=...= I n　U总=U1+U2+...+U n

1：R总=1：R1+1：R2 R总=R1+R2+···+Rn

I1：I2=R2：R1 U1：U2=R1：R2

R总=R1R2 ：（R1+R2）

R总=R1R2R3 ：（R1R2+R2R3+R1R3）

也就是说：电流=电压：电阻

或者电压=电阻×电流

流过电路里电阻的电流，与加在电阻两端的电压成正比，与电阻的阻值成反比。

⑴串联电路P（电功率）U（电压）I（电流）W（电功）R（电阻）T（时间）

电流处处相等 I1=I2=I

总电压等于各用电器两端电压之和U=U1+U2

总电阻等于各电阻之和R=R1+R2

U1：U2=R1：R2

消耗的总功率等于各电功率之和W=W1+W2

W1：W2=R1：R2=U1：U2

P1：P2=R1：R2=U1：U2

总功率等于各功率之和P=P1+P2

⑵并联电路

总电流等于各支路电流之和 I=I1+I2

电压关系：电路中各支路两端电压相等U=U1=U2

总电阻倒数等于各电阻倒数之和R=R1R2÷（R1+R2）注：此只限于并联两个电阻，若是多个电阻，则总电路的等效电阻的倒数等于各支路电阻倒数的和

总电功等于各电功之和W=W1+W2

I1：I2=R2：R1

W1：W2=I1：I2=R2：R1

P1：P2=R2：R1=I1：I2

总功率等于各功率之和P=P1+P2⑶同一用电器的电功率

①额定功率比实际功率等于额定电压比实际电压的平方 Pe/Ps=(Ue/Us)的平方

有关电路的公式

⑴电阻R

R=ρL/S注：其中ρ不是密度，而是导线材料在常温下长度为1m横截面积为1mm^2时的阻值

②电阻等于电压除以电流R=U÷I

③电阻等于电压平方除以电功率R=UU÷P

⑵电功W

电功等于电流乘电压乘时间W=UIt（普适公式）

电功等于电功率乘以时间W=Pt

电功等于电荷乘电压 W=QU

电功等于电流平方乘电阻乘时间W=I×IRt（纯电阻电路）

电功等于电压平方除以电阻再乘以时间W=U·U÷R×t（同上）

⑶电功率P

①电功率等于电压乘以电流P=UI

②电功率等于电流平方乘以电阻P=IIR（纯电阻电路）

③电功率等于电压平方除以电阻P=UU÷R(同上)

④电功率等于电功除以时间P=W：Tt

⑷电热 Q

电热等于电流平方成电阻乘时间Q=IIRt（普适公式）

电热等于电流乘以电压乘时间Q=UIt=W（纯电阻电路）

欧姆定律之电路变化

一、有关电路变化的问题可分为

（1）判断电表示数变化的问题（开关断、闭，滑动变阻器移动）

（2）电能表量程的选择及变化分为问题

（3）滑动变阻器的取值范围问题。

二、可以填空、选择、计算等形式出现

三、分析方法：

（1）看清变化前后电路的连接方式，滑动变阻器滑片的移动引起接入电阻如何变化，开关通断变化的电路，先看清变化前后电路是什么连接方式

(2)从电路图中分析电流表、电压表测的是哪一部分电路的电流、电压

（3）根据串、并联电路的性质和特点，灵活运用欧姆定律进行求解。

四、要善于运用推导公式及比例式求解。

乔治·西蒙·欧姆

生平简介

乔治·西蒙·欧姆(Georg Simon Ohm,1787～1854年)是德国物理学家。生于巴伐利亚埃尔兰根城。欧姆的父亲是一个技术熟练的锁匠，对哲学和数学都十分爱好。欧姆从小就在父亲的教育下学习数学并受到有关机械技能的训练，这对他后来进行研究工作特别是自制仪器有很大的帮助。欧姆的研究，主要是在1817～1827年担任中学物理教师期间进行的。研究过程与成果

欧姆第一阶段的实验是探讨电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，其结果于1825年5月在他的第一篇科学论文中发表。在这个实验中，他碰到了测量电流强度的困难。在德国科学家施威格发明的检流计启发下，他把斯特关于电流磁效应的发现和库化扭秤方法巧妙地结合起来，设计了一个电流扭力秤，用它测量电流强度。欧姆从初步的实验中出发，电流的电磁力与导体的长度有关。其关系式与今天的欧姆定律表示式之间看不出有什么直接联系。欧姆在当时也没有把电势差（或电动势）、电流强度和电阻三个量联系起来。

早在欧姆之前，虽然还没有电阻的概念，但是已经有人对金属的电导率（传导率）进行研究。欧姆很努力，1825年7月，欧姆也用上述初步实验中所用的装置，研究了金属的相对电导率。他把各种金属制成直径相同的导线进行测量，确定了金、银、锌、黄铜、铁等金属的相对电导率。虽然这个实验较为粗糙，而且有不少错误，但欧姆想到，在整条导线中电流不变的事实表明电流强度可以作为电路的一个重要基本量，他决定在下一次实验中把它当作一个主要观测量来研究。

在以前的实验中，欧姆使用的电池组是伏打电堆，但是这种电堆的电动势不稳定，使他大为头痛。后来经人建议，改用铋铜温差电偶作电源，从而保证了电源电动势的稳定。

1826年，欧姆用上面图中的实验装置导出了他的定律。在木质座架上装有电流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盘，s是观察用的放大镜，m和m'为水银杯，abb'a'为铋框架，铋、铜框架的一条腿相互接触，这样就组成了温差电偶。A、B是两个用来产生温差的锡容器。实验时把待研究的导体插在m和m'两个盛水银的杯子中，m和m'成了温差电池的两个极。

欧姆准备了截面相同但长度不同的导体，依次将各个导体接入电路进行实验，观测扭力拖拉磁针偏转角的大小，然后改变条件反复操作，根据实验数据归纳成下关系：

x=q/(b+l)式中x表示流过导线的电流的大小，它与电流强度成正比，和A和B为电路的两个参数，L表示实验导线的长度。

1826年4月欧姆发表论文，把欧姆定律改写为：x=ksa/ls为导线的横截面积，K表示电导率，A为导线两端的电势差，L为导线的长度，X表示通过L的电流强度。如果用电阻l'=l/ks代入上式，就得到X=a/I'这就是欧姆定律的定量表达式，即电路中的电流强度和电势差成正比而与电阻成反比。为了纪念欧姆对电磁学的贡献，物理学界将电阻的单位命名为欧姆，以符号Ω表示。

欧姆定律

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