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- 中文名
- 解析数论
- 外文名
- Analytic number theory
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数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪L.欧拉的时代。欧拉证明了，对实变数s>1有恒等式（式中s取遍所有素葛记数）润体连成立，并且由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一。随后P.G.L.狄利克雷创立了研究数论问题的两个重要工具，即狄利克雷（剩余）特征标与狄利克雷L函数，奠定了解析数论的基础。
解析数论是在初等数论无法解决的情况下发展起来的，因为，如果有拘翻备了一个可以表达所有素数的素数普遍公式，一些纸祖懂枣由解析数论范围的内容，就自动转到初等数论的范围内。例如孪生素数猜想欢体妹以及哥德巴赫猜想。
联系数论和复变函数论的桥梁是所谓的佩隆公式(Peron)。很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题，而利用佩隆公式，就可以将求和函数的估计转变为某类复变函数的零点、极点的分布情况的估计。 大多数数论问题最终都能归结为L函数的性质讨论。
令π（x）表示不超过x的素数的个数，关于π（x）的研究是素数论的中心问题，黎曼在数论中引入复变函数ζ(s)，称为黎曼ζ函数（见数论），他对这个函数作了深入的研究，得到了许多重要结果。特别是 ，他建立了一个与ζ（s）的零点背驼匙有关的表示π(x）的公式，因此研究素数分布问题的关键在于研究ζ（s）的性质特别是它的零点的性质。这样，黎曼开恋屑枣创了解析数论的一个新时期。黎曼提出一个猜想：ζ(s)的所有复零点都在直线Res=1/2上，这就是所谓黎曼猜想。它是尚未解决的最著名的数学问题之一。
1896年，J.阿达马与C.J.dela瓦莱-普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当x→∞时，π（x）～.x/lnx （这个问题最早由高斯提出），从此解析数论开始得到迅速发展。1949年，A.塞尔伯格与P.爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明，当然它是很复杂的。
欧拉恒等式是数论中最重要的定理之一，是算术基本定理的解析等价形式，揭示了素数p和自然数n之间的积性关系。他还提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。其后，P.G.L.狄利克雷应用分析方法于1837年解决了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数的问题，又于1839年推证出二次域的类数公式。他创立了研究数论的两个重要工具，即狄利克雷(剩余)特征标与狄利克雷l函数，奠定了解析数论的基础。
1896年，J.（-S.）阿达马与C.de la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果，用整函数理论，同时证明了素数定理：当x→∞时,π(x)～x(lnx)-1。从此解析数论开始得到迅速发展，而在此以前的30年中却无显著进展。
在数论中应用分析方法，大致有两种情况：一是数论问题本身不涉及分析概念。这类问题又可分为两种情形，或者有一些问题不应用分析方法就不能解决，例如，上述的狄利克雷的两个工作、三素数定理（见数论、堆垒数论）、华林问题；或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究，例如，应用母函数法对整数分拆的一些恒等式的证明、欧拉证明素数有无穷多个的分析方法导致H.默滕斯证明了关于素数平均分布的三个定理、堆垒数论的许多问题引入分析方法证明解的存在性，得出解数的渐近公式或上下界估计。二是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。例如，关于素数定理,即不大于x的素数个数π(x)等于多少的问题（见素数分布）。此外，利用分析概念还可提出新的数论问题，例如各种数论函数的阶估计及均值估计（见格点问题）。
解决一个数论问题需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。这也是数学家努力为之探索的问题。例如，在1949年A.赛尔伯格与P.爱尔特希不利用ζ函数，且除了极限、ex和lnx的性质外,也不需要其他的分析知识，给出了素数定理一个十分初等的分析证明。当然它是很复杂的。
解析数论，一直以来有两大问题，素数方程与L-函数。
Fields奖得主Bombieri在大筛法方面做出了重要工作，从而给陈景润等一批中国数学家带来机会，先是潘承洞解决了1+5型问题，王元解决2+3型的同时构造出了后续攻击路线的解决框架，包括1+4和1+3，最后由陈景润解决了1+2型问题，一直到现在都无法改进，是中国数学家目前为止最拿得响的工作，因为目前谁也做不出最难的1+1型。
素数方程方面，1998年Fields奖得主Gowers获奖之后，紧接着在整数方程做出了开创性的工作，然后由Terence Tao（陶哲轩）和Ben Green推广到素数方程方面，这个推广，很不平凡，陶哲轩获得了2006年Fields奖。
素数方程方面，一直以来有两大方法：筛法和圆法。前者自古希腊时期就被发现，陈景润的工作，就是动用此法。圆法，则是英国剑桥的Hardy-Littlewood-Ramanujan发明，至今也应用了90多年了。
Gowers-Tao-Green，其价值地位相当于第三种方法出世，正是因为增加了新的理解，才有可能得到新的突破性结果。Gowers-Tao-Green增加的是哪种新思想，这种新思想，除了素数方程的数论问题之外，亦很可能对其他数学领域也产生深刻影响。
经典解析数论在素数方程方面的研究思路是：
A-Step 1. Summation Formulas (各种求和公式)
A-Step 2. Equations Detect (方程探测)
算术L-函数
简单地说，
阿廷L-函数：设
是一个有限维的伽罗瓦表示，其中
为一代数数域，
自守L-函数
全纯模形式的L-函数，Maass L-函数，标准L-函数等等。
研究内容
根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指，研究一个L-函数主要有三部分内容：
1.解析延拓
L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分。对于一般的自守L-函数这是较容易得到的， 但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的。例如，对于Haass-Weil L-函数，这部分就是谷山-志村猜想，该猜想一部分就能推出费尔马大定理。关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题。
对于数学对象
的L-函数，我们定义其的gamma因子为[2]
其中
为复参数。
定义下面关于
的完全
-函数
那么，一般地我们有函数方程
其中
为模为1的复数，
为关于
的对偶对象。
2.零点的分布
非零区域：如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为
在假设黎曼猜想下，零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等。
3.特殊点的值