§17.1 与三角形有关的角
教材分析
本节要让学生了解与三角形有关的角及它们的基本性质．学生在小学已经学过三角形的内角，知道三角形的内角和等于180°，但这个结论的得出是学生通过实验得到的，在这里要让学生运用已经学过的知识进行理论论证，让学生体会数学的严谨性．同时这也是学生第一次接触到辅助线，所以教师要注意指导学生准确、规范地运用辅助线解决问题．而面对三角形的外角，又涉及到了角的不等关系，所以教师要注意让学生体会这种不等关系的应用环境．
学习与三角形有关的角，是为后面学习多边形及其角的性质和平面图形的镶嵌打基础，所以对于这一部分的知识，教师要让学生在探索、实验、证明的过程中掌握并运用，注意培养学生的推理能力，为以后正式学习证明打下基础．
本节的重点是对三角形内、外角的性质的了解，难点是学生对三角形的内角和等于180°的证明及三角形外角性质的理解和运用．而添加辅助线的规则和方法，是以后学习几何的重要基础，教师要引起重视．
在教学过程中，教师要注意新旧知识的综合运用，关注学生的实验过程、方法与思维的拓展．
【课时分配】2课时
§7.2.1三角形的内角
【教学重点与难点】
教学重点：1．了解三角形的内角和等于180°．
2．利用三角形的内角和等于180°解答简单的数学问题．
教学难点：1．利用所学知识证明三角形内角和等于180°．
2．认识辅助线，了解辅助线的作法及作用．
3．独立完成证明过程．
【教学目标】
1．了解三角形的内角，会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．毛
2．了解辅助线的作用，能准确、规范地利用辅助线进行证明．
3．规范学生的推理过程，能够独立完成简单的证明过程．
【教学方法】
创设情境，将新旧知识相结合，发现问题，并能利用所学知识解决问题．教学环节的设计与展开，都以已学内容为基础，引导学生通过实践、推理、交流等活动发现并解决问题，感受数学思维的严谨．
【教学过程】
一．创设情境 提出问题
（设计说明：通过回顾小学所学知识，思考得出结论的过程，对结论产生质疑，从而引入证明，不但降低了难度，也让学生感受到数学的严谨性．）
问题1：如图，在△ABC中，等于多少度?
学生回答：．
问题2：这个结论你是如何得出的?
学生回答：将三角形的每个内角剪下，拼成一个平角，或者用量角器进行测量．
问题3：利用这些方法得出的结论准确吗?
学生回答：不准确（或准确）．
（教学说明：教师利用所提出的问题引导学生对已学过的知识进行再次思考，虽然用剪拼、测量的方法可以得出三角形的内角和等于180°，但最后教师要强调出，在剪拼和测量的时候都会产生误差，所以这两种方法是不准确的，从而进一步引导学生思考运用更为严谨的方法进行探究．）
二、探索新知 解决问题
1、观察三角形的构成，探索三角形的概念
（设计说明：通过动手操作，利用旧知识引导学生探索证明方法．）
问题1：如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°?
学生回答：将△ABC的三个内角分别剪下，再拼成一个平角．如下图，
问题2：在①中，直线l有什么特点，它存在吗?
学生回答：直线l // BC，直线l不存在，是我们自己画上的．
问题3：这种原图形中不存在，我们为了解题需要而自己加上的线被称之为辅助线．利用图①，你能想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗?
学生回答：利用平行的性质和平角的定义可以证明．
问题4：证明三角形内角和定理“三角形内角和等于180°”．
学生回答：
已知：△ABC．
求证：
证明：如图，过点A作直线l，使l // BC．
∵l // BC，
∴∠2=∠4 （两直线平行，内错角相等）．
同理，∠3=∠5．
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1＋∠4＋∠5=180°（平角定义）．
∴∠1＋∠2＋∠3=180°（等量代换）．
即
问题5：仿照上述证明过程，你能利用图②证明“三角形内角和等于180°”吗?
学生回答：
已知：△ABC．
求证：
证明：如图，延长BC，过点C作直线l，使l // AB．
∵l // AB，
∴∠1=∠4 （两直线平行，内错角相等）．
∠2=∠5 （两直线平行，同位角相等）．
∵∠3，∠4，∠5组成平角，
∴∠3＋∠4＋∠5=180°（平角定义）．
∴∠3＋∠1＋∠2=180°（等量代换）．
即．
（教学说明：三角形内角和等于180°，在小学就是通过剪拼的方法得出的，所以在这里仍以这种方法为主，引导学生从拼图中发现证明的方法．在这里要让学生的思路进一步开阔，尽量寻找剪拼和证明的方法，但需要强调的是：①证明定理时要自己画图，写好已知、求证和证明；②添加的辅助线要有利于解题；③添加辅助线时不用写“添加辅助线”这种字样，但要说明你所添加的辅助线的位置、名称和性质，如过哪一点作一条什么线，这条线有什么性质等，这也是添加辅助线的“三要素”；④证明的每一步都要写理由，也就是在“∴”的后面写明得到这个结论的理论根据；⑤证明时要先理清证明的思路，再写过程．）
2．利用所学知识解决基础问题
（设计说明：利用三角形内角和等于180°解决一些实际问题．）
问题1：如图，C岛在A岛的北偏东
学生回答：
解：．
∵AD // BE，
∴．（两直线平行，同旁内角互补）
∴，
．
∴在△ABC中，
答：从C岛看A、B两岛的视角是90°．
问题2：对于上面的问题，你还能想出其他的解法吗?
学生回答：
解：过点C作CF // AD．
∵CF // AD，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵CF // BE，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∴．
答：从C岛看A、B两岛的视角是90°．
（教学说明：此题的解法很多，以一种为主进行讲解，再让学生思考其他的解题方法，但一定要给学生充足的时间进行思考、讨论，对学生的每一种正确解题方法都要给予肯定，同时要注意：先理清思路，再动笔写过程．）
三、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过基本练习，让学生对基础知识加深印象，了解对三角形内角和定理的应用范围，形成初步技能．）
练习1.说出下列图中的x的值．
学生：图中的x分别是70，60，30，50．
练习2：下列哪三个角是同一个三角形的内角?
（1）70°，60°，30°，80°；
（2）110°，20°，50°，40°；
（3）52°， 32°，58°，90°；
（4）36°，108°，36°，72°．
练习3：如图，从A处观测C处时仰角∠CAD =30°，从B 处观测C处时仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少度?
学生：由三角形内角和等于180°可以知，在△ACD中∠ACD =60°，在△BCD中，∠BCD =45°．
所以∠ACB =∠ACD -∠BCD=60°-45°=15°．
（教学说明：以基础知识为主，把握三角形内角和定理的应用，每一个结论的得出都要有理有据．特别是练习3，最好要求学生整理思路，写出证明过程．）
四、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，感受数学知识的严谨性，养成良好的学习习惯．）
五、课堂小结
1．本节主要学习三角形内角和等于180°．
2．本节涉及到的思想方法是整体思想．
3．注意的问题：
（１）注意小学与中学知识的衔接．
（２）每个数学结论的得出，都要有一定的理论根据，不能理所当然地得出结论．
六、布置作业
1、课本76页习题7.2的3、4；
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题是对本节所学内容的巩固．）
七、拓展练习
（设计说明：在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。）
练习1：思考：（1）一个三角形最多有几个直角，为什么?
（2）一个三角形最多有几个钝角，为什么?
（3）一个三角形至少有几个锐角，为什么?
学生：（1）一个三角形最多有一个直角．如果一个三角形有两个角是直角，那么三角形的内角和大于180°．这个结果与三角形内角和等于180°矛盾，所以一个三角形最多有一个直角．
（2）一个三角形最多有一个钝角．如果一个三角形有两个角是直角，那么三角形的内角和大于180°．这个结果与三角形内角和等于180°矛盾，所以一个三角形最多有一个钝角．
（3）一个三角形至少有两个锐角．如果一个三角形只有一个角是锐角，那么三角形的另外两个角的和一定大于90°且小于180°．将大于90°且小于180°的角分成两个角的话，必定有一个角小于90°，所以一个三角形至少有两个锐角．
练习2：已知等腰三角形的两个底角相等，则（1）如果等腰三角形的一个顶角为80°，那么它的一个底角等于多少度?（2）如果等腰三角形的一个角为80°，那么它的一个底角等于多少度?
学生：（1）50°；（2）如果80°角是等腰三角形的顶角，那么底角是50°，如果80°角 是等腰三角形的底角，那么底角就是80°.
练习3：如图，已知，，，求∠BDC的度数．
学生：由三角形内角和等于180°可知，∠ABC ＋∠ACB =130°，而∠1＋∠2 =45°，所以∠DBC ＋∠DCB =130°-45°=95°，所以∠BDC =105°．
（教学说明：这三个练习中，练习1是对基础知识更进一步的了解，只要学生能说明白即可．练习2是一种不确定的情况，教师要启发学生注意审题．练习3体现了一种整体思想，这是学习中的一个难点，而且在以后也有较为广泛的应用，所以对此教师要加以引导，让学生体会整体思想的应用，以开阔思维．）
【评价与反思】
本节主要证明三角形内角和等于180°，是一节探讨课．
本节的知识内容学生早在小学就已经学过了，而本节课是要对以前所学内容进行有理有据的推论，所以在教学过程中，教师不仅要引导学生发现以前所得结论的不严谨，还要让学生能够从已有的知识出发，对已知结论进行论证．在解决问题时，教师要留给学生充分的思考与交流的时间，让学生开阔思路，让学生能够经历得出结论的过程，培养学生的逻辑思维能力．
在教学设计上，不仅关注学生的思考过程，还要关注学生的思考习惯．本节的证明较多，所以教师要让学生养成先理清思路，再下笔证明的习惯．让学生在探讨、交流的过程中体会数学的严谨性，并获得数学活动的经验，提高自己的逻辑思维能力．