补充资料：非自伴算子

非自伴算子
non-self -adjoint opetator

非自伴算子I咖一时心咖毓勿冲.如;肚c明ocoll”牌-皿‘由。血ep翻pl 11d饮吐空间中的线性算子，它的谱分析不能纳人自伴算子(望互f一咧。int operator)理论和它最简单的推广:酉算子(刚扭四。体m加r)理论和正规算子(加m创。详”仍r)理论的框架.非自伴算子产生于没有能备守恒条件进行的过程的讨论中:带摩擦的问题，开谐振器的理论，非弹性散射问题及其他.一定的自伴间题，其中的算子值函数了(劝通过变量分离显示出非线性地依赖于一个谱参数又，也导致非自伴算子的研究.有关非自伴算子理论的许多命题对作用在任意B坦解h空间，F空间，拓扑向量空间等等空间上的算子也成立. 研究非自伴算子最广泛的方法是预解式(把阳h印t)的估计，其中用到解析函数，渐近展开等理论.有关非自伴算子理论的第一批工作是G.Birkl刃ff，只·八.Ta珊伴HH，B.A.C戊K朋和其他人在研究关于常微分方程的间题时作出的.这些研究应用了预解式围道积分的Q‘hy方法. 对非自伴偏微分算子很长时间一直缺乏有效的研究方法.这可以用这样的算子的预解式作为解析函数的复杂结构来解释. 在非自伴算子(特别地，偏微分算子)一般理论的发展中，M.B.Ke川场皿11(【1]，也见【2」)的工作起了重要的作用.他研究了形如 夕“了(又)夕(l)的方程，其中y是一定的Hn比rt空间H中的元素，并且算子了(劝有以下表示: 丫(又)=B。+又H。B:+…+又”一’HJ一’B。_，+又“H名.其中H。是一个有限阶的完全连续可逆自伴算子，并且凡(0簇j(”一l)是任意的完全连续算子·(作用在Hil忱rt空间上的完全连续算子A称为一个有限阶算子(。详斑~tor of丘由teo戏记r)，如果对某个p(0

<‘;。*(A)表示A的奇异数(s ingUlarn田的b-ets)，即(AA’)’/2的本征值.)(l)的本征值(ei脚赫璐)是使方程有非平凡解y的那些七这些解称为本征向量〔。g泊wd。招). 在上面作出的假设下，(l)的谱是离散的.由于了(劝是非自伴的，除了本征向量外(在出现多重谱的情形下)自然出现相伴向量.在【l]中根据规则y，一、(k)，，十干旦豁业，，_J+…十弄空纂善业，，(2) 一、’，护护1!口又J卜‘v!口又，产’、川 v=l，…，k，构造了对应于一个本征值又和本征向量y的相伴向量y，，…，y*的链.了(劝的本征向量和相伴向量的系称为挂重完全的(”一几记compkte)，如果H中任何n个向量肠，“，叭一、可以用形如 一「d，.L(r、1 丫一介L dt’J卜。的带相同系数c。的有限线性组合按H中的范数以任意精度逼近，其中。*(t)是形如 e‘rr，，+弃，卜.+…+共夕] 1!J“一’k!JJ的向量值函数.”重完全性的定义自然与对应于(l)的不稳定方程的(知‘勿问题的解相联系. 按照Ke刃场双”的一个定理，在对了(刀的系数所作的假设下，了(力的所有本征向盘和相伴向量的系在H中是n重完全的.在【11中他也证明了了(劝的本征值在arg又x=在/n的射线上可以渐近地逼近.在完全性的证明中，Ke脚场n”发展了一种新的估计有限阶抽象完全连续非自伴算子预解式的方法.这里显示出在完全性问题中丫b】ten么算子伪b加曲。详扭切Is)，即以零为其单一谱点的完全连续算子起了特殊的作用.在确立本征值的渐近行为的过程中，Ke川，nu(【3】)用了属于他的一个新的Tauber定理. Ke几刃刃叮的研究为许多作者所继续.他的定理在汇4]中延拓到算子了(劝有理地依赖于又的情形. 在15]一【71中考虑TM以)=I+又B+又，C的方程M(刀y=0，其中C是一个完全连续正定算子，而B是一个有界自伴算子.no团rPa浏关于一个J自伴算子A的极大J非负不变子空间存在性的定理(见〔8】)的一个推广，使有可能(见【6】和【7】)确立在应用中有重要地位的M以)的所有本征向量和相伴向最的二重完全性，并且也确立对应于谱在左(或右)半平面的子系统的一重完全性.这些结果已经得到更为深人地发展. 有限阶p的完全连续算子A关于本征向量和相伴向量的凡址吮级数的可和性已经建立(见【9】)，如果二次型(Ax，x)的本征值位于复平面中开角小于川p的一个扇形内.(关于这个定理的应用和它的进一步推广见【101及此文的参考文献.) 许多文章研究了本征向盆和相伴向盆的系何时组成这个Hil饮吐空间的一个基的问题.使一个耗散完全连续算子的本征向盆和相伴向t的系组成一个基的最一般的条件在t 121中得到. 在有离散谱的奇异徽分算子的情形下已经得到许多关于带复位势的S抚们n一L沁uv溉算子的本征函数和相伴函数的完全性的精巧的结果(见【111和〔13)).在椭圆型算子的情形下已经得到重要结果(见【14]).KeJ习笼团11的定理已经推广到非自伴椭圆型算子的广义本征函数和相伴函数的情形(见【15]，【16】). 把有限维算子约化为为吐叨形式的定理推广到无穷维情况的尝试导致三角形积分表示的构造.对完全连续算子B，B:+iB，，其中B:和B，是自伴的并且几是有限阶的，已经得到一个关于B酉等价于一个三角形算子的Scliur定理的类似结果(见〔17)).V日傀力ra算子在三角形表示的问题中占有特别的位里. vonN改叮团址叙述的H习忱rt空间中一个完全连续线性算子必有一个不变子空间的定理在这个问题中起T.特别的作用;压协朗h空间中一个任意的有界线性算子不必有不变子空间;对F日伙叭空间的情形相应的问题仍然没有解决(19即).一个、b抽na算子称为单胞算子伽汕戈U诚肚。详n仍r)，如果对它的任意两个不变子空间Q，和Q:或者Q:C=Q:或者QZCQ，.在B，是核型和非负定的假设下，【151中得到B是单胞算子的一个必要和充分条件;这个条件可以用又~co时B的预解式的增长的术语叙述.【19]中指出了一个成为单胞算子的简单的充分条件. 带连续谱的非自伴算子由M.A.Ha益MaP盆首先研究(见tZo]，tZll)，他得到一个与非自伴问题 l(y)=一y“+P(x)y=灯，0簇x<二(5) 0的复值函数，而0是一个复数.【20]中的结果，特别组涵在实轴上A(s)=。二(0，s)一。。(o，s)为零(s=在)的那些点的一个邻域里，算子(3)一(4)的谱投影是无界的.(这里。(x，s)表示(3)的当x~+田时仍(x，s).e一‘xS~1的解，」璐t解(灿tsolution)).在【为〕中，A(s)的实零点称为谱奇点(51茸汇喇sin酬颐自).在[22]得到了〔为』的结果到三维空间中Sc城啦岑r方程情形的一个推广.在[20』的进一步发展中，证明了(见[23」)一般来说(没有型(5)的限制)微分算子的谱函数必须看作一定的拓扑空间上的连续线性泛函. 文献[24]研究了一个带其位置依赖于谱参数的奇点的非自伴方程组.这些组出现在无矩壳体的理论中(见宪体理论(s比11小图理)).对这样的组解的渐近性质已经确立，并且还证明了Quchy型的可解性定理.生成非正则问题的非自伴积分微分算子的本征函数和相伴函数系的完全性定理已经建立. 非自伴算子理论中的一个重要问题是本征函数和相伴函数的双正交级数的G代”1算子的核的展开以及基的问题.TaMap双“习(【25」)研究了一个可和函数关于一个正则问题的本征函数和相伴函数的级数展开，并且还有三角Founer级数的等度收敛性问题.后来证明了(见[26]，〔271)对于非正则问题三角级数的等度收敛性不成立. 对强正则条件本征函数和相伴函数的系组成L:中的一个基.已经证明(见【28]，【29D这个系不仅组成一个基，甚至是一个所谓的R咄z基. 为了研究关于一个通常的非自伴算子的本征函数和相伴函数的展开式的基本性质和一致收敛性，在[30]中发展了一个重要的方法.这个方法是用于自伴问题研究的思想的进一步发展.对本征函数和相伴函数提出了一种新的处理，使有可能去掉边界条件的特殊形式;考虑了一般常微分算子或这样算子的束，并且确立了有关这些算子的本征函数和相伴函数基本性质的充要条件，以及等度收敛准则.这个方法仅仅建立在本征函数和相伴函数的一个中值公式的基础上(也见【311).如果算子有无穷多个相伴函数，那么基本性质原来也依赖于后者的选择(见【32]). 对非自伴椭圆型算子有双正交级数部分和的P匕诬on型平均的一定序列的收敛性(见【331)，即提出了一个求和法. 对于非正则问题的本征函数和相伴函数的展开式，首先是对形如夕’“”又y，y(0)=y’(0)=夕(1)“0的问题得到的.已经证明(见【26」)，这种形式的一致收敛级数展开式对满足一定解析条件的函数能够成立. 在基本研究中有这样一个问题(见[34】)，其中研究了加p协ce算子的谱在定义域改变时的扰动.这里在这个算子的谱上变化的集合容量的作用第一次变得明白了.这些方法成功地应用于非自伴算子的研究中. 其基础在「35】中详细说明的正则化方法，现在成功地应用在非自伴算子的理论中.非自伴算子正则化迹(。习优)的问题就是一个例子.有关迹的理论的第一篇论文是文献〔36]，其中计算了一个Stnml一琉小胡e算子的正则化迹.在【37」和〔38]中得到了算子迹理论中更一般的结果.原来对按一种复杂的方式依赖于谱参数的通常的非自伴微分算子迹公式，可以作为一定类整函数的根的正则化和的公式的推论得到.(在【38』，【39】中考虑了奇异算子和偏微分算子的迹.) 在重要的其中发展了非自伴算子理论新的方法和思想的工作中，也要提到概述性的演讲([犯】). 非自伴算子最后的理论的结构还远未完成(1臾妇)一方面，在这个理论本身有新的研究趋向，像耗散算子理论([411)，压缩算子理论的结构(【42】)，典型MacJI阳算子的方法(〔43』)，谱算子的理论(〔44】)，以及另外的研究;另一方面，关于应用问题、力学和数学物理的研究，又提出了发展这个理论的新的方法.【补注】上面的主要文章给出了非自伴算子理论的一个部分的描述.Ke月刀万nu的关于多重完全性的方法作了详细的解释.已由M.r.Kpe认H和H.切粤r(见〔7])发展的第二个重要的方法只是刚刚接触到.K此‘n-L坦罗r方法用因式分解作为一个工具. 考虑二次算子多项式L(又)二护l十又At十A。，其中A。和A，是作用在俐比d空间H:上的有界线性算子，并且设Z是L(劝=O的(右)算子根(0伴扭勿r rooo，即 22+A、Z+A。=o·那么对每一个x‘H，甲(t)“e’:x是微分方程L(d/do中，O的一个解.间题之一是寻找L(劝“O的算子根2.和22，使得 职(t)=e，‘.x:+er”xZ，其中x诬和x:取遍H中的所有向量，组成L(d/dt)中=0的所有解的集合.而且，如果这样的Z，和Z:已经找到，我们要知道什么时候方程 斌二Z，沪，训=22沪初等解的线性生成在所有解的空间中稠密(在一个将定义得更精确的意义下).如果Z是一个算子根，那么又I一Z是L(又)的一个右因子，即 又’I+又A:十A。=(又I一Y)(又介Z).(AI)Kpe枷一加卿r的方法用不定度皿空间(sP创芜俪山anin-由助触nrtr七)的理论来得到(AI)型的因子分解，并且分析它们在A。和A:是自伴这种重要情形时的性质.这里自然地出现不定度蚤，因为友算子(叨mP~n。伴以。r) 「01〕 L一A。一Al」相对于不定度最 「「乏11，f老211一<，，、.十二:，二，>十LLy，J’Ly，JJ“‘，一，’‘”’一，‘’、一，’了’‘是自伴的，其中A。