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三角函数是数学学习中的重要知识,也是高考考试的重点,三角函数是以角度为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数,三角函数可适用于任何三角形中。
三角函数求导公式
1.正弦函数(sin(x))的导数是余弦函数(cos(x)),即:d/dx[sin(x)]=cos(x)
2.余弦函数(cos(x))的导数是负的正弦函数(-sin(x)),即:d/dx[cos(x)]=-sin(x)
3.正切函数(tan(x))的导数是其自身的平方的倒数,即:d/dx[tan(x)]=sec^2(x)
4.余切函数(cot(x))的导数是其自身的平方的负倒数,即:d/dx[cot(x)]=-csc^2(x)
5.正割函数(sec(x))的导数是正割函数(sec(x))乘以正切函数(tan(x)),即:d/dx[sec(x)]=sec(x)*tan(x)
6.余割函数(csc(x))的导数是余割函数(csc(x))乘以余切函数(cot(x)),即:d/dx[csc(x)]=-csc(x)*cot(x)
这些是基本的三角函数导数公式。可以使用它们来计算各种复杂函数的导数,其中包括三角函数的组合或复合函数。
三角函数基础题型及解题方法
1.化简公式
三角函数的化简公式很多,包括和差角公式、倍角公式以及降次公式,而记住了和差角公式就相当于记住了倍角公式,这点是一定要会运用的,不然你需要多记很多公式。而在考试中,重点考察的不是基础公式的换算,而是多项或者多次公式的化简和计算,这就需要大家记住3个核心的降次公式。
虽然降次公式可以通过基础公式换算得到,但在考试中直接运用可以大大节省做题时间,是非常关键的化简公式。
2.辅助角公式
辅助角公式是大部分三角函数计算会用到的公式,基础公式大家其实都知道,最难的是如何计算化简的度数。
3.系数迁移法
三角函数最常见的就是变形,有那么一类题型完全不用公式换算就可以写答案,本质上就是利用正切和差价角公式进行换算而来,但如果考试遇到相同的题型,就可以快速写答案了。
4.齐次计算法
经常会碰到有分式但次数不一致,甚至没有分数的。
5.互补互余定理
诱导公式其实是非常有用的,本质上是周期的变换,大家最为熟知的就是“奇变偶不变,符号看象限”,在之前的发文中我有提到“数字7”的记忆法,这当然是记住全部的公式,但是对于一些普遍的情况,我们完全可以用更快的技巧来进行转换,我们把它称之为“互补互余定理”。
6.单调性求解
函数单调性是常考的知识点之一,做这类题只要把握住一点,不管形式怎么变,要记住最基础的形式和最基础的增减区间,整体代入就行。
7.对称性求解
三角函数对称求解无非就是对称中心和对称轴两种,和单调求解一个逻辑,再复杂的函数都是建立在最基础的形式上进行求解。
8.奇偶性求解
奇偶性求解有点类似化简的意思,因为往往题目给的不是直接能看出来奇偶性,而是需要进一步化简得到,如果能化简到f(x)=-f(-x),那么就是奇函数,化简到f(x)=f(-x),那就是偶函数。当然这是对所有函数如此。
9.正弦定理
一般在三角形中,涉及到求边、求角或者求面积的,都会用到正余弦定理,核心还是边角转换的问题,如果左右式子在齐次的情况下,建议直接用边替换,因为已经齐次,如果不能约分是很难解出来的,如果没有齐次,先进行齐次操作。
10.余弦定理
余弦定理比正弦定理稍微复杂一些,但核心也是边角转换的问题,在实际解题的过程中优先把角换成边,能更快地提高做题效率。
三角函数是不是只适用于直角
不是,三角函数不只用于直角三角形。
三角函数虽然由直角三角形的三条边之间的比值来定义,但它们是用来量度刻划一个角角度的大小的,所以不只用于直角三角形。例如,在一般三角形中的正弦定理,余弦定理就用到了三角函数。甚至,在知道两条边之长及其夾角的大小之后,还可利用该夾角的正弦及两边之长求三角形的面积。
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