如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2，求证：（1）a，b中至少有一个是偶数；（2

题目内容：

如果自然数a，b，c满足a2+b2=c2，求证：

（1）a，b中至少有一个是偶数；

（2）a，b中至少有一个是3的倍数；

（3）a，b，c中至少有一个是5的倍数．

最佳答案：

证明：运用反证法证明．

（1）假设a、b都是奇数，则c为偶数，c2为4的倍数。

设a=2m+1，b=2n+1（m、n为整数）。

则a2+b2=（2m+1）2+（2n+1）2=2（2m2+2n2+2m+2n+1）

为2的奇数倍，不是4的倍数，与题设矛盾。

∴a，b中至少有一个是偶数；

（2）假设a、b都不是3的倍数，则a、b被3除余数为1或2。

a2+b2被3除余数为2，即为3m+2（m为整数）。

而3m+2不是完全平方式，故假设不成立。

∴a，b中至少有一个是3的倍数；

（3）假设a、b、c都不是5的倍数。

∵完全平方数除以5余数只能0，1，4。

则a2，b2，c2，被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4。

这些都不能使a2+b2=c2成立。

∴a、b、c不能同时不整除5．

答案解析：

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考点核心：

有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。