黄金分割的定义和应用

一、黄金分割的定义和应用

1、黄金分割

将一条线段$AB$分割成大小两条线段$AP$、$BP$$(AP >BP)$，若小线段与大线段的长度之比等于大线段的长度与全长之比，即$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$（此时线段$AP$是线段$PB$，$AB$的比例中项），经计算，这一比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≈$$0.618$，则称这种分割为黄金分割，点$P$叫做线段$AB$的黄金分割点，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$称为黄金分割比，注意：一条线段的黄金分割点有两个。

2、黄金分割的应用

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

画家们发现，按$0.618∶1$来设计的比例，画出的画最优美，在达·芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的$0.58$，因此古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为$0.618$。建筑师们对数字$0.618$特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。

二、黄金分割的相关例题

下列说法正确的是___

A．每一条线段有且只有一个黄金分割点

B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的$0.618$倍

C．若点$C$把线段$AB$黄金分割，则$AC$是$AB$和$BC$的比例中项

D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与这条线段的比值约为$0.618$

答案：C

解析：A．每一条线段有两个黄金分割点，错误；B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的$0.618$倍，错误；C．若点$C$把线段$AB$黄金分割，则$AC$是$AB$和$BC$的比例中项，正确；D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为$0.618$，错误；故选C。