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充分必要条件

数学概念
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同义词充要条件（充要条件）一般指充分必要条件
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然 。
中文名
充分必要条件
外文名
necessary and sufficient conditions
类    型
概念
类    别
数学
简    称
充要条件
判别方法
充分条件且必要条件

说明

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假设A是条件，B是结签己婶论，设C、D分别为A、B所描述对象的集合，则有下舟组列定义和推论：
（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是键院桨B的充分必要条件（此时
戒燥钻旋）；
（2）由A可以推出B，由B不厚旬柜可以推出A，则A是B的充分不必要条件（此时
）；
（3）由A不可想陵故以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件（此时
桨润狱）；
（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件（此时
）[1]主祝。

举例

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1. A=“三角形的三条边都相等”；B=“三角形的三个角都相等”。
2. A=“某人触犯了法律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“买到商店里的东西”。
例1中A是B的充分必要条件；
例2中A是B的必要不充分条件；（A触犯法律包含各种法，有刑法有民法；B已经确定是刑法。B属于A所以A是B的必要不充分条件）
例3中A是B的必要不充分条件；（ A付够了钱 可以买的是车、房子等；但是B能买到商店里的东西一定是要付够钱）

生活中

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  1. 1.
    生活中表达充分必要条件的情况不太常见。在逻辑学和数学中一般用“当且仅当”来表示充分必要条件。例如：当且仅当竞争对手甲退出投标时，乙才会报一个较高的价位。a、b为任意实数时，a²+b² ≥ 2ab 成立，当且仅当a=b时取等号。
  2. 2.
    其他常见的表示充分必要条件的说法还有：“需要且只需要”、“唯一条件”的情况。例如：任何两个端节点之间的转发需要且只需要经过三次交换。为了防止圆管内流动的水发生结冰，则需要且只需要保持圆管内壁面的最低温度在某一温度以上。俄军逼近格首都称停火唯一条件是乌军放弃武力。

逻辑学中

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定义：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件。
充分必要条件是逻辑学在研究假言命题及假言推理时引出的。
陈述某一事物情况是另一件事物情况的充分必要条件的假言命题叫做充分必要条件假言命题。充分必要条件假言命题的一般形式是：p当且仅当q。符号为：p←→q(读作“p等值q”) 。
例如：“三角形等边当且仅当三角形等角。”是一个充分必要条件假言命题。
根据充分必要条件假言命题的逻辑性质进行的推理叫充分必要条件假言推理。

数学中

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有命题p、q，如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
p推出q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，此时p是q的子集。
例如：a、b一正一负推出ab<0，ab<0推出a、b一正一负，则a、b一正一负和ab<0互为充要条件。
简单的说就是在证p与q时,前面那个推出后面那个就是充分条件；后面那个推出前面那个就是必要条件；前面能推出后面、后面也能推出前面就是充要条件。
对于“若p则q”形式的命题，如果已知pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件。
例如，如果a+i²=-1，则a=0，因此，a+i²=-1是a=0的充分条件，a=0是a+i²=-1的必要条件。（注：i²=-1，i为虚数。）
如果既有p推出q，又有q推出p，则记作p=q，就说p是q的充要条件，也可以说q是p的充要条件，或者若p推出q，但q推不出p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
例如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充分不必要条件，|x|=|y|是“x²=y²”的充要条件。

假言推理

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  • 充分条件的假言推理
这种推理形式是最常见的。它的大前提的前件是后件的充分条件,后件是前件的必要条件，由于大前提的前后件之间的这种关系，就决定了它有两种正确式:
(1)肯定式
肯定式就是大前提是假言判断，小前提肯定着大前提中作为条件的判断的真实性，结论则肯定着大前提中作为结果的判断的真实性。这就是说，在肯定形式中,小前提和结论分别地把大前提中所表现的原因和结果都肯定下来了。肯定式的公式为：如果P，那么 q；（大前提），P（小前提）；因此，q （结 论）。[2]
肯定式充分条件的假言推理的规则是：只能由肯定前件而肯定后件；不能由否定前件而否定后件。[3]
(2)否定式
否定式就是大前提是假言判断，而小前提否定了大前提中作为结果的后件判断的真实性，从而结论也就否定了大前提中作为条件的前件的真实性。如果 P，那么 q；（大前提）；不p；（小前提）因此不P（结论）。
否定式充分条件的假言推理的规则是：只能由否定后件而否定前件；不能由肯定后件而肯定前件。[4]
  • 必要条件假言推理
必要条件的假言推理的大前提是必要条件的假言判断,它的前件是后件的必要条件，后件是前件的充分条件。
如果把必要条件假言判断的前后件都加上否定词，就变成了充分条件假言判断。根据这个道理，我们可将必要条件的假言推理改变为充分条件的假言推理。因此，在语言实际中必要条件的假言推理是比较少见的。
必要条件的假言推理也有两种正确式:
（1）肯定式
必要条件假言推理的肯定式就是:小前提肯定了大前提的后件，结论则肯定了大前提的前件。
肯定式的公式为:只有P，才q;(大前提)，q；(小前提)，因此P。(结论)
肯定式必要条件假言推理的规则：只能由肯定后件而肯定前件；不能由肯定前件而肯定后件。[5]
（2）否定式
必要条件假言推理的否定式就是：小前提否定了大前提的前件，结论则否定了大前提的后件。否定式的公式为：只有P，则 q（大前提）；不P（小前提）；因此，不q（结 论）。
否定式必要条件假言推理的规则是：只能由否定前件而否定后件；不能由否定后件而否定前件。[6]
  • 充要条件假言推理
充分必要条件的假言推理是大前提的前件和后件互为充分和必要条件。这种假言推理的逻辑关系很简单，只要肯定前件和后件，就能肯定后件和前件；只要否定前件和后件，就能否定后件和前件。因此，充分必要条件的假言推理，有四个正确式：
（1）如果P，那么q；P；因此，q。
（2）如果不P，那么不q；不P；因此，不q。
（3）如果P，那么q；q；因此，p。
（4）如果不P，那么不q；不q；因此，不P。
充分和必要条件的假言推理可以用两个假言前提来表述，一个前提表示充分条件，一个前件表示必要条件,小前提肯定或否定任何一个前提或后件，结论就肯定或否定相应的后件或前件。[7]

简史

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在公元前6世纪，古希腊思想家们已经开始研究逻辑推理的概念，活跃的国家政治生活鼓励人们开展讨论和发展辩论的技巧。如伊利亚学派的巴门尼德（Parmenniddes，公元前6世纪后期）及其弟子芝诺（Zeno，公元前5世纪）的著作详细地描述了各种辩论技巧，如“归谬法（reductio and absurdum）—假定要证明的命题不成立从而引出矛盾；否定后件律（modus tollens）—先证明若A正确，则B也正确，然后证明B不正确，结论是A也不正确。”
亚里士多德认为，逻辑论证应建立在三段论（syllogism）的基础上，三段论指的是由所陈述的事情，必定可得出另外的某些结论的论证过程。[8]